下手の横好きでありますが、たまに数学のことを考えたりします。
　ここ最近はゾロ目の素数はないかと考えていたのですが、そうしたらタイトルのような発見をしました。
　以下は、その解説を雑学風に箇条書きにしたものです。

ゾロ目の素数は存在する。
最小は11。



ゾロ目の素数はレピュニット素数と呼ばれている。



レピュニット素数は1のゾロ目以外は存在しない。
1以外だと1のゾロ目の倍数になるため。
2222… = 2 * 1111…
3333… = 3 * 1111…
4444… = 4 * 1111…
5555… = 5 * 1111…
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11の次のレピュニット素数は1111111111111111111。1の数は19個。
以降は23個、317個、1031個が素数になることが判明している。
さらに49081個、86453個、109297個、270343個も“おそらく”素数とみられているが、桁数が多すぎて素数だと“確定”するのは困難とされる。



レピュニット素数は1の個数も素数になる。
個数が合成数（素数以外）だと簡単に約数を見つけられるからである。
例えば12個（3*4個）の場合は次のように筆算の要領で因数分解できる。

容易に因数分解



1111111111111111111（1が19個）は十進法だけでなく二進法でも素数。



二進法でゾロ目になる素数はメルセンヌ素数と呼ばれる。
これも1の個数は素数個となる。



今現在において、二進法でも十進法でも素数となるゾロ目は、
11と、1111111111111111111（1が19個）の二つしか発見されていない。

※ゾロ目でないのならもっとある。



■参考
　レピュニット - Wikipedia
　メルセンヌ数 - Wikipedia
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